引越しの1週間前くらいまでに旧居の住所を管轄しているガス会社に連絡をして、転居のため使用停止したい旨と、最終使用日を伝えます。
ガス会社によりますが、電話、インターネットで手続きができます。

連絡する時は、氏名・旧居新居両方の住所・電話番号と、「お客様番号」が必要になります。
お客様番号はガスの領収書や検針票に書かれていますので、手元に用意しておきましょう。

ガス料金の精算方法は、現在利用している方法（口座振替、クレジットカード払いなど）をそのまま利用する方法、払込書による振込み、引越し当日の現金精算などがあります。

引越し先の新居を管轄するガス会社が同じ場合は、同時に手続きができます。
別の会社の場合は、改めて利用申し込みの手続きが必要です。
新居の住所地を管轄しているガス会社を調べて、電話かインターネットで手続きします。

賃貸住宅の場合は、ガス会社の説明書や口座振替依頼書などガス利用に関する書類一式が玄関に用意されていることが多いです。
新築一戸建て等の場合は、利用申し込みの際に郵送してもらうよう伝えましょう。

ガスの使用開始の際は、安全のためガス会社の方の立会いのもと開栓手続きが必要になります。
申し込みの際、この訪問日時の予約をします。
ガス会社の方が家に来てくれて、ガス開栓と安全確認、手持ちのガス機器が安全に使えるかの確認、ガス使用に関する説明をしてくれます。
ガスレンジ、ガスストーブなどがある場合は、その場に用意しておくといいでしょう。

日本全国のガス事業者の一覧はこちらです。参考になさってください。